—-
Nesta aula serão apresentados alguns métodos de levantamento de pesos e preferências a serem utilizados nos métodos de ranking, ou na formação dos indicadores.
! Pontos a Serem vistos
—-
Dentre as principais, destacam-se:
* Métodos para levantamento dos pesos
! Desenvolvimento
—-
”Preferências”
Muitas vezes é difícil obter todas as comparações, por exemplo quando o número de critérios é muito grande, ou por qualquer motivo metodológico (por exemplo, quando queremos obter estimativas de consenso ou de desvio, etc).
O método mais difundido é utilizado para definir preferências é o de Saaty, desenvolvido para a abordagem do AHP.
Neste método utilizam-se qualificadores linguísticos para compara as importâncias entre critérios, e utiliza-se uma escala predefinida. A partir da matriz de comparação encontra-se os pesos de preferências utilizando-se o autovetor associado ao máximo autovalor. Em seguida verifica-se o coeficiente de consistência para verificar possíveis incoerências.
Além de utilizar a abordagem proposta por Saaty, pode-se partir para uma das seguintes abordagens:
1. Método das preferências absolutas e aplicação de regras de conversão
2. Método do Centróide
3. Método Best-Worst
4. Regressão Múltipla
5. Diagrama de Mudge
6. Método da Entropia ou Consenso
”1. Método das preferências absolutas ”
Bertholo, Priscila, Campello, CAGB, Indicador de Qualidade em um Centro Cirurgico, dissertação mestrado, FMRP/USP
Nesse método, pede-se aos avaliadores para dar uma qualificação de importância a cada um dos critérios, variando de “sem importância” a “extremamente importante”. A escala inguística é convertida em uma escala de 1 a 9. Depois faz-se uma comparação entre os pares de critérios e adota-se a seguinte formulação para encontrar a importância relativa na escala de Saaty:
Comparando o critério i com o critério j:
Se Ni >= Nj então aij=Ni-Nj+1
Se Ni<Nj então aij=1/(Nj-Ni+1)
Supondo que tenhamos 3 critérios, e que sabe-se que C1>C2>C3, e que foram atribuídas as seguintes importâncias: 9, 7, 3
Utilizando a formulação acima, encontra-se uma matriz de preferência :
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7\\ 1/3 & 1 & 5 \\ 1/7 & 1/5 &1 \end{bmatrix} $$
e encontrando-se os pesos tem-se: {0,64; 0,28; 0,08}
Caso tivéssemos associados os valores 9, 5, 1, teríamos:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 9\\ 1/5 & 1 & 5 \\ 1/9 & 1/5 &1 \end{bmatrix} $$
e encontrando-se os pesos tem-se: {0,72; 0,21; 0,07}
Observar que os valores são semelhantes, mas do ponto de vista de aplicação podem ser bem diferentes.
”2. Método do Centróide”
Olson, D.L., Dorai, V.K., Implementation of the centroid method of Solymosi and Dombi, European Journal of Operational Research 60 (1992) 117-129, North-Holland
O artigo trata de implementar a metodologia do método centroide. Por essa abordagem, não é necessário estipular as preferências entre as alternativas/critérios, mas apenas fornecer a ordem entre estes.
Neste método, assume-se que cada ordem de preferência, no limite, iguala os pesos.
Assim, se temos 3 critérios, de forma que C1>C2>C3, tomamos o primeiro limite, em que apenas C1 importa, e associamos peso 1. O segundo limite, seria dado quando C1=C2, e nesse caso associamos pesos 0,5 a cada. O terceiro limite será dado quando C1=C2=C3, e nesse caso associamos 1/3 a cada. O método do centroide simplesmente tira a média de cada critério para associar os pesos. No exemplo:
| | C1 | C2 | C3 |
| C1>>>C2,C3 | 1,00 | 0,00 | 0,00 |
| C1=C2>>>C3 | 0,50 | 0,50 | 0,00 |
| C1=C2=C3 | 0,33 | 0,33 | 0,33 |
| média | 0,61 | 0,28 | 0,11 |
”3. Método Best-Worst”
Referência: Rezaei,Jafar. Best-worst multi-criteria decision-making method, Omega 53 (2015) 49–57
Frente às dificuldades de estabelecer pesos relativos, e à não adequação do uso de pesos absolutos, pode-se utilizar a técnica denominada best-worst (MBW) para encontrar os pesos.
Nessa abordagem ”cada avaliador” deve estabelecer as importâncias relativas de cada alternativa/variável/critério com relação à melhor (best) e a pior (worst), sendo necessário 2*(N-1) avaliações.
Esse método mostra-se adequado por não precisar de todas as comparações par a par, exigindo somente a comparação da mais importante com as demais, e da menos importante com as demais. omo dificuldade, é necessário um método interativo para obter os pesos, os quais são a solução de um problema de programação linear.
Cada avaliador deve atribuir notas a cada criterio (ou alternativa) com relação à MELHOR (Best) opção e à PIOR (Worst) opçao.
$$ A_{B}=(a_{B1}, a_{B2},…,a_{BN}) $$ $$ A_{W}=(a_{W1}, a_{W2},…,a_{WN}) $$
Os pesos são dados pelo sistema:
$$ min \xi $$ sujeito a $$ |\frac{w_{B}}{w_{j}} – a_{Bj}| < \xi $$ $$ |\frac{w_{j}}{w_{Wj}} – a_{Wj}| < \xi $$ $$ \sum w_{j}=1 $$
”4. Regressão Múltipla”
Se tivermos a pontuação ou estimativa do valor das dimensões, pode-se utilizar a regressão múltipla para avaliar os pesos.
Supondo que temos uma dimensão com 3 variáveis, e suponha que tenhamos os seguintes dados:
| dim | v1 | v2 | v3 |
| 0,4470 | 0,6815 | 0,0844 | 0,3487 |
| 0,4883 | 0,2694 | 0,9315 | 0,5056 |
| 0,5408 | 0,4796 | 0,1243 | 0,9292 |
| 0,4585 | 0,7260 | 0,4241 | 0,0774 |
| 0,4757 | 0,3960 | 0,9615 | 0,2517 |
| 0,5295 | 0,6458 | 0,1055 | 0,6541 |
| 0,4424 | 0,5058 | 0,4839 | 0,3168 |
| 0,3284 | 0,1488 | 0,9874 | 0,1330 |
| 0,1714 | 0,2654 | 0,1992 | 0,0091 |
| 0,6298 | 0,4300 | 0,8216 | 0,7965 |
| 0,3583 | 0,3829 | 0,5121 | 0,2118 |
| 0,6950 | 0,8775 | 0,0492 | 0,8764 |
| 0,5739 | 0,7170 | 0,2874 | 0,5602 |
| 0,4322 | 0,5132 | 0,1854 | 0,4845 |
| 0,5143 | 0,5914 | 0,1157 | 0,6802 |
| 0,8199 | 0,9033 | 0,4466 | 0,9583 |
Pode-se realizar a regressão múltipla para encontrar os pesos de ponderação. No Excel: Dados > Análise de Dados > Regressão
seleciona-se as células de saída, de entrada, seleciona a opção constante é zero e calcula.
Para o exemplo teremos a seguinte saída:
R2=1
a1=0,47; a2=0,22; a3=0,31 que são os coeficientes ou pesos de ponderação para cada variável.
Este método pode ser utilizado também para encontrar o que seriam os coeficientes de consenso entre os diversos avaliadores, pois pode ser utilizado de form conjunta com outros métodos, por exemplo, o do centroide ou outro.
Nessa abordagem, os coeficientes de cada um dos avaliadores são utilizados para calcular os valores de resposta (variável que queremos medir). A partir disso, podemos utilizar os diversos valores para calcular através da regressão..
Imagine que temos 3 avaliadores avaliando 4 alternativas utilizando 5 critérios.
Cada qual realiza uma avaliação sobre a importância de cada critério indicando a ordem de prioridade::
| avaliador | c1 | c2 | c3 | c4 | c5 |
| a1 | 1 | 1 | 4 | 3 | 2 |
| a2 | 1 | 2 | 4 | 4 | 3 |
| a3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 |
Utilizando o método do centróide para cada avaliador tem-se:
| Aval 1 | c1 | c2 | c3 | c4 | c5 |
| | 0,500 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| | 0,333 | 0,333 | 0,000 | 0,000 | 0,333 |
| | 0,250 | 0,250 | 0,000 | 0,250 | 0,250 |
| | 0,200 | 0,200 | 0,200 | 0,200 | 0,200 |
| soma | 1,283 | 1,283 | 0,200 | 0,450 | 0,783 |
| w1 | 0,321 | 0,321 | 0,050 | 0,113 | 0,196 |
| Aval 2 | c1 | c2 | c3 | c4 | c5 |
| | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| | 0,500 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| | 0,333 | 0,333 | 0,000 | 0,000 | 0,333 |
| | 0,200 | 0,200 | 0,200 | 0,200 | 0,200 |
| soma | 2,033 | 1,033 | 0,200 | 0,200 | 0,533 |
| w2 | 0,508 | 0,258 | 0,050 | 0,050 | 0,133 |
| Aval 3 | c1 | c2 | c3 | c4 | c5 |
| | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| | 0,333 | 0,333 | 0,000 | 0,000 | 0,333 |
| | 0,250 | 0,250 | 0,250 | 0,000 | 0,250 |
| | 0,200 | 0,200 | 0,200 | 0,200 | 0,200 |
| soma | 1,783 | 0,783 | 0,450 | 0,200 | 0,783 |
| w3 | 0,446 | 0,196 | 0,113 | 0,050 | 0,196 |
Supondo que os valores normatizados para os critérios de cada alternativa sejam os apresentados na matriz:
| | c1 | c2 | c3 | c4 | c5 |
| A1 | 1,000 | 0,919 | 0,555 | 0,134 | 0,053 |
| A2 | 0,608 | 0,418 | 1,000 | 0,679 | 0,402 |
| A3 | 0,013 | 0,656 | 0,649 | 0,673 | 0,295 |
| A4 | 0,563 | 1,000 | 0,417 | 1,000 | 1,000 |
Pode-se calcular a nota que cada alternativa receberia de cada avaliador, bem como a ordem de prioridade:
| av1 | av2 | av3 | av1 | av2 | av3 |
| 0,669 | 0,787 | 0,705 | 2 | 1 | 2 |
| 0,534 | 0,555 | 0,578 | 3 | 3 | 3 |
| 0,381 | 0,282 | 0,299 | 4 | 4 | 4 |
| 0,831 | 0,749 | 0,739 | 1 | 2 | 1 |
Pode-se observar que a ordem dos avaliadores 1 e 3 é a mesma, porém diferentes do avaliador 2.
Para que possamos ter um conjunto único de preferências, pode-se utilizar uma regressão múltipla.
Pode-se estabelecer o seguinte sistema:
a1*1,+a2*,919+a3*,555+a4*,134+a5*,053=,669
a1*,608+a2*,418+a3*1,+a4*,679+a5*,402=,534
a1*,013+a2*,656+a3*,649+a4*,673+a5*,295=,381
a1*,563+a2*1,+a3*,417+a4*1,+a5*1,=Que ,831
a1*1,+a2*,919+a3*,555+a4*,134+a5*,053=,787
a1*,608+a2*,418+a3*1,+a4*,679+a5*,402=,555
a1*,013+a2*,656+a3*,649+a4*,673+a5*,295=,282
a1*,563+a2*1,+a3*,417+a4*1,+a5*1,=,749
a1*1,+a2*,919+a3*,555+a4*,134+a5*,053=,705
a1*,608+a2*,418+a3*1,+a4*,679+a5*,402=,578
a1*,013+a2*,656+a3*,649+a4*,673+a5*,295=,299
a1*,563+a2*1,+a3*,417+a4*1,+a5*1,=,739
Resolvendo com o Excel:
| Variável X 1 | 0,400 |
| Variável X 2 | 0,271 |
| Variável X 3 | 0,106 |
| Variável X 4 | 0,000 |
| Variável X 5 | 0,232 |
Pode-se comparar com os valores dos avaliadores, os valores de média aritmética e geométrica.
| | c1 | c2 | c3 | c4 | c5 |
| w1 | 0,321 | 0,321 | 0,050 | 0,113 | 0,196 |
| w2 | 0,508 | 0,258 | 0,050 | 0,050 | 0,133 |
| w3 | 0,446 | 0,196 | 0,113 | 0,050 | 0,196 |
| média a | 0,425 | 0,258 | 0,071 | 0,071 | 0,175 |
| média g | 0,417 | 0,253 | 0,066 | 0,066 | 0,172 |
| regressão | 0,400 | 0,271 | 0,106 | 0,000 | 0,232 |
5. Diagrama de Mudge
Supondo que temos 4 critérios A, B, C e D.
Comparando-se dois a dois, podemos associar a importância de um critério com relação ao outro.
Associando as importâncias como 1- pouco mais importante, 3- mais importante e 5- muito mais importante, podemos ter, por exemplo, uma comparação da seguinte forma, associando o valor 0 quando forem da mesma importancia..
| Critério 1 | | | Critério 2 |
| A | 0 | 3 | B |
| A | 0 | 1 | C |
| A | 0 | 3 | D |
| B | 3 | 0 | C |
| B | 0 | 0 | D |
| C | 0 | 3 | D |
O que na forma tradicional seria apresentado como
$$ \begin{bmatrix}
. && B3 && C1 && D3 \\
B3 && . && B3 && ND \\
C1 && B3 && . && D3\\
D3 && ND && D3 && .
\end{bmatrix} $$
No método tradicional de Mudge somando os números correspondentes à cada linha teríamos:
$$ \begin{bmatrix}
A = 0 \\
B = 6 \\
C = 1 \\
D = 6 \\
\end{bmatrix} $$
Somando 1 a cada valor e verificando o percentual relativo, tem-se os pesos das preferências de cada critério:
$$ \begin{bmatrix}
A = \frac{1}{17}=0,059 \\
B = \frac{7}{17}=0,412 \\
C = \frac{2}{17}=0,118 \\
D = \frac{7}{17}=0,412 \\
\end{bmatrix} $$
Se desejarmos trabalhar considerando apenas um sistema binário, isto é, sem definir uma graduação de preferência, teremos a denominada Matriz de Roberts (1979) e a matriz ficaria:
$$ \begin{bmatrix}
. && 0 && 0 && 0 \\
1 && . && 1 && 0 \\
1 && 0 && . && 0\\
1 && 0 && 1 && .
\end{bmatrix} $$
Somando 1 a cada valor e verificando o percentual relativo, tem-se os pesos das preferências de cada critério:
$$ \begin{bmatrix}
A = \frac{1}{9}=0,111 \\
B = \frac{3}{9}=0,333 \\
C = \frac{2}{9}=0,222 \\
D = \frac{3}{9}=0,333 \\
\end{bmatrix} $$
Pode-se ainda utilizar a abordagem adotada pelo Comet, em que se houver empate vale 0,5, e se uma for melhr que a outra, recebe 1 (a outra zero). Depois ao invés de tomar a somatória, utiliza-se da metodologia do vetor único, e trabalha-se com o posto…
| N | pesos |
| 2 | [0,1] |
| 3 | [0, 0.5, 1] |
| 4 | [0, 0.333, 0.667, 1] |
| .. | .. |
| N | [0, 1/(N-1), 2/(N-1), … , (N-2)/(N-1), 1] |
”6. Método da Entropia”
A Entropia informacional é um conceito que busca avaliar a quantidade de informação em um conjunto de dados.
Parte do pressuposto que se houver uma grande dispersão dos dados haverá mais informação. Ao contrário, se houver pouca dispersão, não haverá informação a ser explorada.
Há ao menos duas oportunidades de uso da abordagem da entropia.
A primeira quando queremos reduzir o número de critérios ou de variáveis. O critério de redução pode ser a entropia, pois não haverá muita perda de informação.
A segunda, é quando se quer atribuir pesos ou preferências utilizando-se da entropia.Isso ocorre quando não há possibilidade de buscar julgamentos subjetivos ou não se deseja fazer isso. Nessa situação podemos ter duas abordagens distintas: uma quando se atribuem pesos menores aos critérios com maior entropia, supondo que não agregam muita informação nova. A outra é atribuir maior peso aos critérios com menor entropia, pois significa que ão os que possuem maior consenso sobre os valores.
Tendo-se uma série de dados X(i), i=1..n, para o cálculo tem-se as seguintes etapas, proposto por Zeleny (ZELENY, Milan. Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill: New York, 1982)
1. Normatização dos dados
$$ z_{i}=x_{i}/x_{max} $$ para valores de ganhos (benefícios)
$$ z_{i}=x_{min}/x_{i} $$ para valores de perdas (custos)
2. cálculo da proporção de cada ponto
$$ p_{i}=z_{i}/\sum{z_{i}} $$
3. cálculo da contribuição da entropia de cada ponto
$$ e_{i}=p_{i}.ln(p_{i}) $$
4. cálculo da entropia total
$$ E=-\frac{1}{ln(n)}.\sum{e_{i}} $$
5. Cálculo dos psos:
a. Se for utilizar a abordagem de redução da importância quanto menos “informação” simplesmente normatiza-se
b. se for utilizar a abordagem do consenso, utiliza-se 1-E
—–
* exemplo mais amplo. (retirado de Souza, Débora F. et al, , APLICAÇÃO DO MÉTODO AHP-FUZZY)
* Observações:
Quando há multiplos avaliadores pode-se ter uma série de problemas.
Um exemplo clássico é o de quando há avaliadores que possuem opiniões equidistantes, o que forneceria valores de avaliação como x e 1/x. Neste caso, está claro que quando se fosse trabalhar com a opinião média deveria-se ter o valor 1 a ser associado, mas não é o resultado que se obtém:
(x + 1/x)/2=(x^2+1)/2x x=3-> 10/6 x=5 -> 26/10 etc
Desta forma, a escala proposta não mostra-se útil devendo ser alterada.
Uma proposta é considerar um fator multiplicativo na escala (ver Cap5).
exemplo: 1/4 , 1/2 , 1 , 2 , 4 (cada elemento é multiplicado por 2). Neste caso, ao invés de média aritmética, deve-se usar a média geométrica… segundo o autor.
acho que talvez seja melhor só alterar a escala tipo 1,2,.., 9 e fazer aditivo mesmo, e só reconverter para a escala do saaty o valor de média
Referência: http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/AHP/Consistency.htm