Sistemas Mecânicos podem ser representados por equações diferenciais e de vínculos (algébricas). A obtenção das equações diferenciais de sistemas mecânicos (em geral de segunda ordem) pode ser realizada pela técnica vetorial de Newton-Euler (Teorema da Resultante e Teorema da Quantidade de Movimento Angular), pelo método de Lagrange (Energia Cinética e Potencial) ou pelo método de Gibbs-Appel. A modelagem de sistema é a especialidade da engenharia dedicada a descrição matemática de sistemas físicos que podem ser mecânicos, hidráulicos, elétricos, químicos, etc. Todo sistema descrito por equações diferenciais de segunda ordem, a termos constantes e lineares, pode ser tratado por técnica que permite a identificação das suas propriedades fundamentais (frequência natural e modo de vibrar) e verificar sua estabilidade. Os sistemas mecânicos reais, em geral não lineares, podem ter sua movimentação temporal calculada por um processo de integração numérica. Os resultados permitem avaliar seu comportamento dinâmico, quando submetido a excitações externas.
A obtenção das equações diferenciais que descrevem o movimento e atitude do corpo no espaço tridimensional pode ser realizada utilizando um referencial móvel solidário ao corpo. Os forçamentos externos podem ser devido ao contato entre corpos rígidos, devido à interação fluido/estrutura, no caso de um aeroplano em manobra livre no espaço. Para uma embarcação marítima ou fluvial a interação fluido/estrutura ocorre dominantemente no plano do fluido. A interação veicular entre o pneu e o pavimento é determinada pelas deformações locais de contato elástico/plástico. No caso de veículos metro-ferroviários a restrição vincular de contato roda/trilho de um rodeiro rígido com rodas cônicas determina as forças de contato devido aos micro-escorregamentos locais. Finalmente a geometria e irregularidades da via impõem uma trajetória ( posição e orientação) prescrita ao movimento do veículo e deve ser adequadamente descrita.
Para saber mais sobre modelagem de sistemas mecânicos consulte as seguintes notas de aula:
- Equações de Movimento em Referencial Fixo
- Equações de Movimento em Referencial Móvel
- Descrição das Forças de Interação e Contato
- Implementação de Método de Integração Numérica
- Descrição da Geometria da Trajetória Espacial
Alguns programas especializados podem ser utilizados como ambiente para implementar os modelos e fazer a integração numérica, apresentação gráfica e análise de resultados:
Para mais informação sobre simulação e análise de resultados utilize os tutoriais do Scilab em linha de comando ou diagrama de blocos e Python.
REDUÇÃO DE ORDEM DE MODELOS
Em engenharia e ciência muitas vezes é desejável utilizar um modelo matemático mais simples que possa “fazer o mesmo trabalho”. É frequente o caso em que o sistema físico seja modelado utilizando princípios básicos que resulte na identificação de um modelo matemático desnecessariamente complexo e de ordem elevada. Modelo de ordem reduzida é uma aproximação simplificada, consistente e sistemática de tais modelos. Há muitas vantagens em trabalhar com modelos com espaço de estados de dimensão reduzida. Estes são mais fáceis de analisar e muito mais rápidos para simular. Os métodos de redução de ordem do modelo tem sido utilizado com sucesso para resolver problemas de grande porte em áreas como engenharia de controle, processamento de sinal, compressão de imagem, mecânica dos fluidos e sistemas de potência.
Para mais informações, veja o trabalho de Gabriel Maciel (2018) An Error Bound for Low Order Approximation of Dynamical Systems Subjected to Initial Conditions. Trends in Computational and Applied Mathematics, Vol. 19, Issue: 2,DOI.: 10.5540/tema.2018.019.02.197